Question

如图是一个正方体魔块（表面有颜色），将它掰开（沿图中各面的线），得到27棱长为1的小正方体，将这些小正方体充分混合后，装入一个口袋中．
（1）从这个口袋中任意取出1个小正方体，这个小正方体的表面恰好没有颜色的概率为多少？
（2）从这个口袋中同时任意取出2个小正方体，其中一个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另一个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率为多少？

Answer 1

分析：（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是选出的是一个表面没有颜色的正方体，有1种结果，根据等可能事件的概率得到结果．
（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，从27个小正方体中同时任意取出2个小正方体，共C₂₇²种等可能的结果．有一个小正方体恰好有1面涂有颜色，另一个小正方体至少有2个面涂有颜色有C₆¹（C₁₂¹+C₈¹）种，得到概率．

解答：解：在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，
恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个．
（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，
满足条件的事件是选出的是一个表面没有颜色的正方体，有1种结果，
记“从这个口袋中任意取出1个小正方体，
这个小正方体的表面恰好没有颜色”为事件A，
∴P（A）=

1

27

．

（2）从27个小正方体中同时任意取出2个小正方体，共C₂₇²种等可能的结果．
这些结果中，有一个小正方体恰好有1面涂有颜色；
另一个小正方体至少有2个面涂有颜色有C₆¹（C₁₂¹+C₈¹）种．
∴从27个小正方体中同时任意取出2个小正方体，
有一个小正方体恰好有1个面涂有颜色，
另一个小正方体至少有2个面涂有颜色概率为p=

C 1 6 ( C 1 12 + C 1 8 )

C 2 27

=

40

117

．

点评：本题考查等可能事件的概率，考查计数原理，考查正方体的结构特征，是一个综合题目，在解题时注意分割后的小正方体一定要数清楚，本题是一个易错题．