Question

关于函数f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R）有下列命题，
①y=f（x）图象关于直线x=-

π

6

对称 
②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x-

π

6

）
③y=f（x）的图象关于点（-

π

6

，0）对称 
 ④由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整数倍．
其中正确命题的序号是

②③

．

Answer 1

分析：①由f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），知y=f（x）图象的对称轴方程满足2x+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，由此能求出y=f（x）图象的对称轴；
②由f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），利用诱导公式能推导出y=f（x）=4cos（

π

6

-2x）=4cos（2x-

π

6

）；
③由f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R）的对称点是（

kπ

2

-

π

6

，0），能求出y=f（x）的图象关于点（-

π

6

，0）对称；
④由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是

π

2

π的整数倍．

解答：解：∵f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），
∴y=f（x）图象的对称轴方程满足2x+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，
即y=f（x）图象关于直线x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z对称，故①不正确；
∵f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），
∴y=f（x）=4cos[

π

2

-（2x+

π

3

）]=4cos（

π

6

-2x）=4cos（2x-

π

6

），故②正确；
∵f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R）的对称点是（

kπ

2

-

π

6

，0），
∴y=f（x）的图象关于点（-

π

6

，0）对称，故③正确；
由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是

π

2

π的整数倍，故④不正确．
故答案为：②③．

点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的合理运用．