Question

4．已知函数f（x）=e^x-ax，a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处的切线过点（1，0），求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（-1，+∞）上不存在零点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a=1，设函数$g（x）=\frac{1}{f（x）+ax}+\frac{4x}{{{e^x}-f（x）+4}}$，求证：当x≥0时，g（x）≥1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函数的导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得a；
（Ⅱ）由题意可得a=$\frac{{e}^{x}}{x}$在x＞-1无解，设h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，求得导数，单调区间和极值，即可得到a的范围；
（Ⅲ）a=1，化简函数g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{4x}{x+4}$，当x≥0时，g（x）≥1等价为e^x（3x-4）+x+4≥0，令F（x）=e^x（3x-4）+x+4，求出导数，判断单调性即可得证．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-ax的导数为f′（x）=e^x-a，
函数f（x）在x=0处的切线斜率为1-a，
在x=0处的切线过点（1，0），可得1-a=-1，
解得a=2；
（Ⅱ）函数f（x）在（-1，+∞）上不存在零点，即为
a=$\frac{{e}^{x}}{x}$在x＞-1无解，设h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
即有h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
当-1＜x＜0，或0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减；
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）递增．
则x＞0时，x=1处h（x）取得最小值e，-1＜x＜0时，h（x）＜-$\frac{1}{e}$．
则有a的范围是-$\frac{1}{e}$≤a＜e；
（Ⅲ）证明：a=1，函数$g（x）=\frac{1}{f（x）+ax}+\frac{4x}{{{e^x}-f（x）+4}}$=$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{4x}{x+4}$，
当x≥0时，g（x）≥1等价为e^x（3x-4）+x+4≥0，
令F（x）=e^x（3x-4）+x+4，F（0）=0，F′（x）=e^x（3x-1）+1，F′（0）=0，
再令G（x）=e^x（3x-1）+1，G′（x）=e^x（3x+2）＞0，
即有G（x）在x≥0递增，即为G（x）≥G（0）=0，
即有F′（x）≥0，即F（x）在x≥0递增，
则F（x）≥F（0）=0，即有e^x（3x-4）+x+4≥0，
故当x≥0时，g（x）≥1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查函数方程的转化思想和不等式的证明，注意运用构造函数，求得单调性解决，属于中档题．