Question

已知A（-1，0），B（1，0），设M（x，y）为平面内的动点，直线AM，BM的斜率分别为k₁，k₂，
①若

k1

k2

=2，则M点的轨迹为直线x=-3（除去点（-3，0））
②若k₁•k₂=-2，则M点的轨迹为椭圆x2+

y2

2

=1（除去长轴的两个端点）
③若k₁•k₂=2，则M点的轨迹为双曲线x2-

y2

2

=1
④若k₁+k₂=2，则M点的轨迹方程为：y=x-

1

x

（x≠±1）
⑤若k₁-k₂=2，则M点的轨迹方程为：y=-x²+1（x≠±1）
上述五个命题中，正确的有

①④⑤

（把所有正确命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：分别根据斜率公式计算出k₁，k₂，然后根据斜率关键得到对应的轨迹方程，然后判断即可．

解答：解：由题意知k1=

y-0

x+1

=

y

x+1

，(x≠-1)，k2=

y-0

x-1

=

y

x-1

，(x≠1)．
①若

k1

k2

=2，则

y x+1

y x-1

=

x-1

x+1

=2，即x=-3．此时k₂≠0，所以y≠0，即不含（-3，0）点．所以①正确．
②若k₁•k₂=-2，则

y

x+1

?

y

x-1

=-2，即x2+

y2

2

=1，此时x≠±1，所以此时对应的轨迹为椭圆，除去短轴的两个端点，所以②错误．
③若k₁•k₂=2，则

y

x+1

?

y

x-1

=2，即x2-

y2

2

=1，此时x≠±1，所以此时对应的轨迹为双曲线，除去实轴的两个端点，所以③错误．
④若k₁+k₂=2，则

y

x+1

+

y

x-1

=2，即2xy=2x²-2，即y=x-

1

x

（x≠±1），所以④正确．
⑤若k₁-k₂=2，则

y

x+1

-

y

x-1

=2，即-2y=2x²-2，即y=-x²+1（x≠±1），所以⑤正确．
故正确的是①④⑤．
故答案为：①④⑤．

点评：本题主要考查直线的斜率公式以及轨迹方程的判断，利用条件分别代入化简即可，主要斜率存在的隐含条件x≠±1．