Question

已知点C为圆（x+1）²+y²=8的圆心，点A（1，0），P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且

MQ

•

AP

=0，

AP

=2

AM

．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
（2）设过点（0，2）且斜率为2的直线l与（1）中所求的曲线交于B，D两点，O为坐标原点，求△BDO的面积．

Answer 1

分析：（1）把题中条件转化为MQ是线段AP的垂直平分线，得出点Q的轨迹是以点C和点A为焦点，半焦距c=1，长半轴的a=

2

的椭圆即可点Q的轨迹方程；
（2）求出（0，0）到直线L的距离以及利用弦长公式求出|BD|的长即可求△BDO的面积．

解答：解：（1）由题得，MQ是线段AP的垂直平分线，故|QC|+|QA|=|QC|+|QP|=|CP|=2

2

＞|CA|=2，
于是点Q的轨迹是以点C和点A为焦点，半焦距c=1，长半轴的a=

2

的椭圆，短半轴b=

a2-b2

=1．
所以点Q的轨迹方程是：

x2

2

+y2=1．．
（2）因直线L过点（0，2）且斜率为2，则直线方程为y=2x+2，即2x-y+2=0．
故点（0，0）到直线L的距离d=

2

22+1

=

2 5

5

．．
把y=2x+2代入（1）中的方程

x2

2

+y²=1，化简得9x²+16x+6=0．△=16²-4×9×6=40＞0
．设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

16

9

，x₁•x₂=

2

3

．
∴|BD|=

1+ k2

|x₁-x₂|=

5[(- 16 9 )2-4× 2 3

]=

10 2

9

．
故△BDO的面积S_△BOD=

1

2

•|BD|•d=

2 10

9

．

点评：在求动点的轨迹方程问题时，一般是利用条件找到动点所在曲线或找到关于动点坐标的等式，可得动点的轨迹方程．