Question

设f（n）=nⁿ⁺¹，g（n）=（n+1）ⁿ，n∈N^*．
（1）当n=1，2，3，4时，比较f（n）与g（n）的大小．
（2）根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．

Answer 1

（1）当n=1时，nⁿ⁺¹=1，（n+1）ⁿ=2，此时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
当n=2时，nⁿ⁺¹=8，（n+1）ⁿ=9，此时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
当n=3时，nⁿ⁺¹=81，（n+1）ⁿ=64，此时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，
当n=4时，nⁿ⁺¹=1024，（n+1）ⁿ=625，此时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，
（2）根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n∈N^*）恒成立．
①当n=3时，nⁿ⁺¹=3⁴=81＞（n+1）ⁿ=4³=64
即nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ成立．
②假设当n=k时，k^k+1＞（k+1）^k成立，即：

kk+1

(k+1)k

＞1
则当n=k+1时，

(k+1)k+2

(k+2)k+1

=(k+1)?(

k+1

k+2

)k+1＞(k+1)?(

k

k+1

)k+1=

kk+1

(k+1)k

＞1
即（k+1）^k+2＞（k+2）^k+1成立，即当n=k+1时也成立，
∴当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n∈N^*）恒成立．