Question

12．某品牌专卖店准备在五一期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从4种不同品牌的洗衣机，2种不同品牌的电视机和3种不同品牌的空调中，选出4种不同品牌的商品进行促销，该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高200元，同时，若顾客购买任何一种品牌的商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得m（m＞0）元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是$\frac{2}{3}$．
（1）求选出的4种不同品牌商品中，洗衣机、电视机、空调都至少有一种且至多有两种品牌的概率；
（2）设顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额（单位：元）为随机变量X．请写出X的分布列和数学期望；
（3）在（2）的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？

Answer 1

分析 （1）由题意可得P=$\frac{{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{1}{∁}_{3}^{1}+{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{2}{∁}_{3}^{1}+{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{3}^{1}{∁}_{6}^{1}}$．
（2）由题意可得：X=0，m，2m，3m．X～N$（3，\frac{2}{3}）$，P（X=k）=${∁}_{3}^{k}（\frac{2}{3}）^{k}（1-\frac{2}{3}）^{3-k}$（k=0，1，2，3），再利用数学期望计算公式即可得出．
（3）由（2）可得：2m＜200，解出即可．

解答 解：（1）由题意可得P=$\frac{{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{1}{∁}_{3}^{1}+{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{2}{∁}_{3}^{1}+{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{3}^{1}{∁}_{6}^{1}}$=$\frac{9}{28}$．
（2）由题意可得：X=0，m，2m，3m．X～N$（3，\frac{2}{3}）$．
P（X=k）=${∁}_{3}^{k}（\frac{2}{3}）^{k}（1-\frac{2}{3}）^{3-k}$（k=0，1，2，3）．
∴E（X）=0+$m•{∁}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）^{1}（\frac{1}{3}）^{2}$+2m${∁}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{1}{3}$+$3m×{∁}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}$=2m．
（3）由（2）可得：2m＜200，∴m＜100．
该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于100元．

点评 本题考查了古典概率计算公式、二项分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．