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设圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线l交两坐标轴于A(a,0),B(0,b),(ab≠0).
(1)求a,b应满足的条件;
(2)求线段AB中点的轨迹方程;
(3)若a>2,b>2,求△AOB面积的最小值.
分析:(1)写出直线l的方程,利用圆心到直线的距离等于半径,即可求a,b应满足的条件;
(2)设出线段AB中点的坐标,得到坐标满足的关系,代入直线l的方程可求AB中点的轨迹方程;
(3)若a>2,b>2,表示出△AOB面积的表达式,利用基本不等式求出三角形面积的最小值.
解答:解:(1)直线l的方程为
x
a
+
y
b
=1
,即bx+ay-ab=0.
依题意,圆心(1,1)到l的距离d=r
|b+a-ab|
b2+a2
=1⇒(a-2)(b-2)=2为a,b
应满足的条件;
(2)设AB的中点为P(x,y),则
a
2
=x
b
2
=y
a=2x
b=2y

代入(a-2)(b-2)=2,
(x-1)(y-1)=
1
2
为线段AB中点的轨迹方程.
(3)由(a-2)(b-2)=2⇒ab=2a+2b-2.又a>2,b>2,
S△AOB=
1
2
ab=a+b-1

=(a-2)+(b-2)+3≥2
(a-2)(b-2)
+3=3+2
2

当且仅当a=b=2+
2
时取
等号,所以,△AOB面积的最小值是3+2
2
点评:本题考查直线与圆的位置故选,轨迹方程的求法,基本不等式的应用,考查计算能力.
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