Question

【题目】已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：
①f（﹣x）=﹣f（x）；
②f（ ）=2f（x）
③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是（ ）
A.①②③
B.②③
C.①③
D.①②

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），
∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；
f（ ）=ln（1+ ）﹣ln（1﹣ ）=ln（ ）﹣ln（ ）=ln（ ）=ln[（ ）2]=2ln（ ）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；
当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））
∵g′（x）= + ﹣2= ≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，
又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；
故正确的命题有①②③，
故选：A
【考点精析】通过灵活运用命题的真假判断与应用，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系即可以解答此题．