Question

已知函数f（x）=e^x，若函数g（x）满足f（x）≥g（x）恒成立，则称g（x）为函数f（x）的下界函数．
（1）若函数g（x）=kx是f（x）的下界函数，求实数k的取值范围；
（2）证明：对任意的m≤2，函数h（x）=m+lnx都是f（x）的下界函数．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，k＜0不成立，而k=0必然成立；当k＞0时，由f（x）≥g（x）恒成立，得e^x-kx≥0恒成立．利用导数可得?（x）=e^x-kx的单调性，
求得?（x）_min=?（lnk）=k-klnk≥0，求得k的范围，综合可得k的范围．
（2）由（1）知f（x）≥G（x）=ex恒成立，构造函数F（x）=ex-lnx-m（x＞0），利用导数求得F(x)min=F(

1

e

)=2-m≥0，即G（x）≥h（x）恒成立．
所以f（x）≥G（x）≥h（x）恒成立，命题得证．

解答：解：（1）若g（x）=kx为f（x）=e^x的下界函数，易知k＜0不成立，而k=0必然成立．
当k＞0时，若g（x）=kx为f（x）=e^x的下界函数，则f（x）≥g（x）恒成立，
即e^x-kx≥0恒成立．
令?（x）=e^x-kx，则?'（x）=e^x-k．
易知函数?（x）在（-∞，lnk）单调递减，在（lnk，+∞）上单调递增．
由?（x）≥0恒成立得?（x）_min=?（lnk）=k-klnk≥0，解得0＜k≤e．
综上知0≤k≤e．
（2）由（1）知函数G（x）=ex是f（x）=e^x的下界函数，即f（x）≥G（x）恒成立．
由于 m≤2，构造函数F（x）=ex-lnx-m（x＞0），
则 F′(x)=e-

1

x

=

ex-1

x

，易知F(x)min=F(

1

e

)=2-m≥0，
即h（x）=m+lnx是G（x）=ex的下界函数，
即G（x）≥h（x）恒成立．
所以f（x）≥G（x）≥h（x）恒成立，
即m≤2时，h（x）=m+lnx是f（x）=e^x的下界函数．

点评：本题主要考查函数的恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题．