Question

（2011•普宁市模拟）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，∠BAD=60°，E、F分别为BC、PA的中点．
（I）求证：ED⊥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥P-DEF的体积；
（Ⅲ）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值．

Answer 1

分析：（I） 要证DE⊥平面PAD． 关键是证明DE⊥AD，PD⊥DE，利用条件线面垂直可证；
（Ⅱ）利用转化底面的方法可求三棱锥P-DEF的体积，即V_P-DEF=V_E-PDF；
（Ⅲ） 建立空间直角坐标系，利用平面的法向量的夹角求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值．

解答：证明：（I）连接BD，由已知得BD=2，


在正三角形BCD中，BE=EC，∴DE⊥BC，又AD∥BC，∴DE⊥AD…（2分）
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DE，…（3分）
AD∩PD=D，∴DE⊥平面PAD．  …（4分）
（Ⅱ）∵S△PDF=

1

2

•S△PDA=

1

2

×

1

2

×22=1，
且DE=

3

，…（5分）
∴VP-DEF=VE-PDF=

1

3

•S△PDF•DE=

1

3

×1×

3

=

3

3

…（8分）
（Ⅲ）：如图建立空间直角坐标系D-AEP，

则由（I）知平面PAD的一个法向量为

n1

=(0，1，0)∵B(1，

3

，0)，C(-1，

3

，0)，P(0，0，2)，∴

CB

=(2，0，0)，

PB

=(1，

3

，-2)
设平面PBC的法向量为

n2

=(x，y，z)，
由

n2 • CB =0 n2 • PB =0

，∴

x=0 z= 3 2 y

取y=2得

n2

=(0，2，

3

)…（11分）∴cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2

1• 7

=

2 7

7

…（13分）
∴平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为

2 7

7

…（14分）

点评：本题的考点是用空间向量其余平面的夹角，主要考查线面垂直，考查面面角，关键是建立坐标系，求平面的法向量．