Question

9．已知数列{a_n}是首项为2，公差为-1的等差数列．令b_n=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$，求证数列{b_n}是等比数列．并求其通项公式．

Answer 1

分析 由题意写出等差数列的通项公式，得到a_n+1-a_n=-1，由等比数列的定义可证明数列{b_n}是等比数列．代入等比数列的通项公式求得b_n．

解答 证明：∵数列{a_n}是首项为2，公差为-1的等差数列，
∴a_n=2+（n-1）×（-1）=3-n，
∴a_n+1-a_n=3-（n+1）-3+n=-1．
则$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{（\frac{1}{2}）^{{a}_{n+1}}}{（\frac{1}{2}）^{{a}_{n}}}=（\frac{1}{2}）^{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$（\frac{1}{2}）^{-1}=2$为常数．
又${b}_{1}=（\frac{1}{2}）^{{a}_{1}}=（\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$，
∴数列{b_n}是以$\frac{1}{4}$为首项，以2为公比的等比数列．
∴${b}_{n}=\frac{1}{4}•{2}^{n-1}={2}^{n-3}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，是基础题．