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在实数集R中定义一种运算“*”,对任意a,b∈R,a*b为唯一确定的实数,且具有性质:
(1)对任意a,b∈R,a*b=b*a;
(2)对任意a∈R,a*0=a;
(3)对任意a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.
关于函数f(x)=(2x)*
1
2x
的性质,有如下说法:
①函数f(x)的最小值为3;
②函数f(x)为奇函数;
③函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-
1
2
),(
1
2
,+∞)

其中所有正确说法的个数为(  )
A、0B、1C、2D、3
分析:对于新定义的运算问题常常通过赋值法得到一般性的结论,本题的关键是对f(x)的化简.
解答:解:在(3)中,令c=0,则a*b=ab+a+b?f(x)=1+2x+
1
2x

因x没有范围故不能直接利用不等式求最值,故①不正确
而②显然不正确
f′(x)=2-
1
2x2
=0?x=±
1
2

易知函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-
1
2
),(
1
2
,+∞)

故选B.
点评:本题是一个新定义运算型问题,考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质以及同学们类比运算解决问题的能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

在实数集R中定义一种运算“△”,且对任意a,b∈R,具有性质:
①a△b=b△a;   ②a△0=a;③(a△b)△c=c△(a•b)+(a△c)+(b△c)+c,则函数f(x)=|x|△
1|x|
的最小值为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

在实数集R中定义一种运算“*”,对于任意给定的a,b∈R,a*b为唯一确定的实数,且具有性质;
(1)对任意a,b∈R,a*b=b*a;
(2)对任意a∈R,a*0=a;
(3)对任意a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.
关于函数f(x)=(3x)*(
1
3x
)
的性质,有如下说法:
①函数f(x)的最小值为3;
②函数f(x)为奇函数;
③函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-
1
3
),(
1
3
,+∞)

其中所有正确说法的序号为

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•内江二模)在实数集R中定义一种运算“⊕”,对任意a,b⊕b为唯一确定的实数且具有性质:
(1)对任意a,b∈R,有a⊕b=b⊕a;
(2)对任意a∈R,有a⊕0=a;
(3)对任意a,b,c∈R,有(a⊕b)⊕c=c⊕(ab)+(a⊕c)+(c⊕b)-2c.
已知函数f(x)=x⊕
1x
,则下列命题中:
(1)函数f(x)的最小值为3;
(2)函数f(x)为奇函数;
(3)函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)、(1,+∞).
其中正确例题的序号有
(3)
(3)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•内江二模)在实数集R中定义一种运算“⊕”,对任意a,b∈R,a⊕b为唯一确定的实数且具有性质:
(1)对任意a,b∈R,有a⊕b=b⊕a;
(2)对任意a∈R,有a⊕0=a;
(3)对任意a,b,c∈R,有(a⊕b)⊕c=c⊕(ab)+(a⊕c)+(c⊕b)-2c.
已知函数f(x)=x2
1x2
,则下列命题中:
(1)函数f(x)的最小值为3;
(2)函数f(x)为奇函数;
(3)函数f(x)的单调递增区间为(-1,0)、(1,+∞).
其中正确例题的序号有
(1)(3)
(1)(3)

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