Question

已知递增的等差数列{a_n}的首项a₁=1，且a₁、a₂、a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n ；
（2）设数列{c_n}对任意n∈N^*，都有

c1

2

+

c2

22

+…+

cn

2n

=an+1，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₅的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等比中项的性质列出关于公差d的方程，解方程可得d的值，代入等差数列的通项公式化简；
（2）由（1）化简

c1

2

+

c2

22

+…+

cn

2n

=an+1，令n取n-1代入列出一个式子，两个式子相减即可求出c_n，由等比数列的前n项和公式求出c₁+c₂+…+c₂₀₁₅的值．

解答： 解：（1）设递增的等差数列{a_n}的公差为d，则d＞0，
∵a₁、a₂、a₄成等比数列，∴a₂²=a₁a₄，
∴（1+d）²=1×（1+3d），解得d=1，
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=1+n-1=n；
（2）由（1）得，

c1

2

+

c2

22

+…+

cn

2n

=an+1，
则

c1

2

+

c2

22

+…+

cn

2n

=n+1，①
当n≥2时，

c1

2

+

c2

22

+…+

cn-1

2n-1

=n，②
①-②得，

cn

2n

=1，所以c_n=2ⁿ，
所以c₁+c₂+…+c₂₀₁₅=2+2²+2³+…+2²⁰¹⁵
=

2(1-22015)

1-2

=2²⁰¹⁶-2．

点评：本题考查等比中项的性质，等差数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，属于中档题．