Question

10．设数列{x_n}满足0＜x₁＜π，x_n+1=sinx_n（n=1，2，…），证明$\underset{lim}{n→∞}$x_n存在极限，并求该极限．

Answer 1

分析 0＜x_n+1=sinx_n≤1，可得：当n≥2时，x_n+1=sinx_n＜x_n，数列{x_n}满足单调递减且有界，因此$\underset{lim}{n→∞}$x_n存在，解出即可．

解答 证明：∵0＜x_n+1=sinx_n≤1，
∴当n≥2时，x_n+1=sinx_n＜x_n，
∴数列{x_n}满足单调递减且有界，
因此$\underset{lim}{n→∞}$x_n存在，
设$\underset{lim}{n→∞}$x_n=x，
则x=sinx，
解得x=0，
∴$\underset{lim}{n→∞}$x_n=0．

点评 本题考查了单调有界数列必有极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．