Question

对于任意定义在区间D上的函数f（x），若实数x₀∈D满足f（x₀）=x₀，则称x₀为函数f（x）在D上的一个不动点．
（1）求函数f(x)=2x+

1

x

-2在（0，+∞）上的不动点；
（2）若函数f(x)=2x+

a

x

+a，在（0，+∞）上没有不动点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设函数f(x)=2x+

1

x

-2在（0，+∞）上的不动点为x₀，代入解方程可求
（2）若函数f(x)=2x+

a

x

+a，在（0，+∞）上没有不动点，则2x+

a

x

+a=x在x∈（0，+∞）没有实数解，即x²+ax+a=0在x∈（0，+∞）没有实数解，根据一元二次方程的实根分布可求a的范围

解答：解：（1）设函数f(x)=2x+

1

x

-2在（0，+∞）上的不动点为x₀
则2x0+

1

x0

-2= x0，且x₀∈（0，+∞）
∴x₀=1
（2）若函数f(x)=2x+

a

x

+a，在（0，+∞）上没有不动点
则2x+

a

x

+a=x在x∈（0，+∞）没有实数解
∴x²+ax+a=0在x∈（0，+∞）没有实数解
∴△=a²-4a＜0或

△=a2-4a≥0 -a＜0 a＞0

∴0＜a＜4或a≥4

点评：本题以新定义为载体，主要考查了一元二次方程的根的求解，及方程的根的分布，要注意方程的根与系数关系的应用．