Question

椭圆上任一点P到两个焦点的距离的和为6，焦距为，A，B分别是椭圆的左右顶点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）设C（x，y）（0＜x＜a）为椭圆上一动点，D为C关于y轴的对称点，四边形ABCD的面积为S（x），设，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意得，2a=6，，再据b²=a²-c²求出b²的值，即可得到椭圆的方程．
（Ⅱ）设P（x，y），利用斜率公式及P在椭圆上求得k₁和k₂ 的解析式，从而计算出 k₁•k₂的值．
（Ⅲ）由题意，四边形ABCD是梯形，求出S（x），可得函数f（x）的解析式，利用导数判断单调性，
从而求出极值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得，2a=6，∴a=3．
又，∴，b²=a²-c²=1，故椭圆的方程为．
（Ⅱ）设P（x，y）（y≠0），A（-3，0），B（3，0），，则，即，则，即 ，∴k₁•k₂为定值 ．
（Ⅲ）由题意，四边形ABCD是梯形，则 ，且，
于是， （0＜x＜3），
．  令f'（x）=0，解之得x=1或x=-3（舍去），
当0＜x＜1，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x＜3，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
所以f（x）在x=1时取得极大值，也是最大值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，以及利用导数判断函数的单调性求函数的极值．