Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动，
（1）问AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

．
（2）在（1）的条件下，求直线AB与平面CD₁E夹角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）通过建立空间直角坐标系，设出点E的坐标，分别表示出平面AECD、D₁EC的法向量，利用法向量所成的角表示出二面角的平面角即可得出；
（2）利用平面D₁EC的法向量与斜向量

AE

所成的角即可求出．

解答：解：（1）以点D为坐标原点，分别以DA、DC、DD₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标，设AE=x．
则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，a，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．
∴

CE

=(1，a-2，0)，

D1C

=(0，2，-1)，

DD1

=(0，0，1)．
设平面D₁EC的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n • D1C =0 n • CE =0

，化为

2y-z=0 x+(a-2)y=0

，
令y=1，则z=2，x=2-a．
∴

n

=(2-a，1，2)．
∵DD₁⊥平面ABCD，∴可取

DD1

作为平面ABCD的法向量．
由题意可得cos

π

4

=

| n • DD1 |

| n | | DD1 |

=

2

2

，∴

2

(2-a)2+1+22

=

2

2

，解得a=2±

3

．
其中2+

3

不符合题意，应舍去，∴a=2-

3

．
∴AE=2-

3

．
（2）由（1）可知：E(1，2-

3

，0)，∴

AE

=(0，2-

3

，0)，
设直线AE与平面CD₁E夹角为θ，则sinθ=|cos＜

n

，

AE

＞|=

| n • AE |

| n | | AE |

=

2- 3

( 3 )2+1+22 (2- 3 )2

=

2

4

．
∴cosθ=

14

4

．

点评：熟练掌握通过结论空间直角坐标系、利用平面的法向量的夹角求二面角及平面的法向量与斜向量所成的角求线面角是解题的关键．