Question

（2012•临川区模拟）请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分．
（1）已知曲线C₁、C₂的极坐标方程分别为ρ=-2cos(θ+

π

2

)，

2

ρcos(θ-

π

4

)+1=0，则曲线C₁上的点与曲线C₂上的点的最远距离为

2

+1

．
（2）设a=

x2-xy+y2

，b=p

xy

，c=x+y，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是

（1，3）

．

Answer 1

分析：（1）先将曲线的极坐标方程方程化为普通方程，曲线C1的普通方程为x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=1．表示以C（0，1）为圆心，半径为1 的圆．曲线C2的普通方程为x+y+1=0，表示一条直线．利用直线和圆的位置关系求解．
（2）由基本不等式可得a≥

xy

，c≥2

xy

，再由三角形任意两边之和大于第三边可得，

xy

+2

xy

＞b=p

xy

，且p

xy

+

xy

＞2

xy

，p

xy

+2

xy

＞

xy

，由此求得实数p的取值范围．

解答：曲线C₁极坐标方程为ρ=-2cos(θ+

π

2

)，即ρ=2sinθ，ρ²=2ρsinθ
化为直角坐标方程为x²+y²-2y=0．即x2+（y-1）2=1．
表示以C（0，1）为圆心，半径为1 的圆．
C₂的极坐标方程为，

2

ρcos(θ-

π

4

)+1=0，即

2

ρ（

2

2

cosθ+

2

2

sinθ）+1=0，
化为普通方程为x+y+1=0，表示一条直线
如图，圆心到直线距离d=|CQ|=

2

2

2

，曲线C₁上的点与曲线C₂上的点的最远距离为|PQ|=d+r=

2

+1
（2）对于正实数x，y，由于a=

x2-xy+y2

≥ 

2xy -xy

=

xy

，c=x+y≥2

xy

，b=p

xy

，且三角形任意两边之和大于第三边，所以

xy

+2

xy

＞b=p

xy

，且p

xy

+

xy

＞2

xy

，p

xy

+2

xy

＞

xy

，．
解得 1＜p＜3，故实数p的取值范围是（1，3），
故答案为：

2

+1，（1，3）．

点评：（1）本题以曲线参数方程出发，考查了极坐标方程、普通方程间的互化，直线和圆的位置关系．（2）本题主要考查基本不等式的应用，注意不等式的使用条件，以及三角形中任意两边之和大于第三边，属于中档题．