Question

5．如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F
（1）求证：PC⊥面AEF；
（2）设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD．

Answer 1

分析 （1）由ABCD为矩形，得BC⊥AB有PA⊥平面ABCD可知BC⊥平面PAB，从而AE⊥BC，可证AE⊥PC，由AF⊥PC，AE∩AF=A，从而证明PC⊥面AEF；
（2）由ABCD为矩形，可证CD⊥平面PAD，得CD⊥AG，可知PC⊥AG，从而AG⊥平面PCD，可证AG⊥PD．

解答 解：（1）∵ABCD为矩形
∴BC⊥AB
∵PA⊥平面ABCD
∴BC⊥PA
∴BC⊥平面PAB
∴AE⊥BC
又AE⊥PB
∴AE⊥平面PBC
∴AE⊥PC
又AF⊥PC，AE∩AF=A，
∴PC⊥平面AEF；
（2）∵ABCD为矩形
∴CD⊥AD
∵PA⊥平面ABCD
∴CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AG
∵PC⊥平面AEF
∴PC⊥AG
∴AG⊥平面PCD
∴AG⊥PD

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，直线与平面垂直的判定，属于基本知识的考查．