Question

【题目】某同学在研究下学习中，关于三角形与三角函数知识的应用（约定三内角，，的对边分别为，，）得出如下一些结论：

（1）若是钝角三角形，则；

（2）若是锐角三角形，则；

（3）在三角形中，若，则；

（4）在中，若，，则.其中错误命题的个数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：由题意结合三角函数的性质逐一分析所给命题的真假即可.

详解：逐一考查所给命题的真假：

(1)∵tanA+tanB=tan(A+B)(1tanAtanB)，

∴tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC，

∴△ABC是钝角三角形，可得：tanAtanBtanC<0，故错误；

(2)∵△ABC为锐角三角形，

∴A+B>90°,B>90°A，

∴cosB<sinA，sinB>cosA，

∴cosBsinA<0，sinBcosA>0，

∴cosBsinA<sinBcosA，可得cosA+cosB<sinA+sinB，故错误；

(3)当B=时，tanB不存在，故错误；

(4)由tanC=得到0<C<90°,且tan30°=1=tan45°，

因为正切函数在(0,90°)为增函数,所以得到30°<C<45°；

由sinB=可得到0<B<90°或90°<B<180°，

在0<B<90°时,sin30°=,因为正弦函数在(0,90°)为增函数,得到0<B<30°；

在90°<B<180°时,sin150°=,但是正弦函数在90°<B<180°为减函数,得到B>150°,则B+C>180°，矛盾，不成立。

所以0<B<30°.由B和C的取值得到A为钝角，

所以A>C>B，故正确；

综上可得，错误命题的个数是3.

本题选择D选项.