【题目】在三棱锥D-ABC中,,且
,
,M,N分别是棱BC,CD的中点,下面结论正确的是( )
A.B.
平面ABD
C.三棱锥A-CMN的体积的最大值为D.AD与BC一定不垂直
【答案】ABD
【解析】
根据题意画出三棱锥D-ABC,取中点
,连接
:对于A,根据等腰三角形性质及线面垂直判定定理可证明
平面
,从而即可判断A;对于B,由中位线定理及线面平行判定定理即可证明;对于C,当平面
平面
时,三棱锥A-CMN的体积最大,由线段关系及三棱锥体积公式即可求解;对于D,假设
,通过线面垂直判定定理可得矛盾,从而说明假设不成立,即可说明原命题成立即可.
根据题意,画出三棱锥D-ABC如下图所示,取中点
,连接
:
对于A,因为,且
,
,
所以为等腰直角三角形,
则且
,
则平面
,
所以,即A正确;
对于B,因为M,N分别是棱BC,CD的中点,
由中位线定理可得,而
平面
,
平面
,
所以平面
,即B正确;
对于C,当平面平面
时,三棱锥A-CMN的体积最大,
则最大值为,即C错误;
对于D,假设,由
,且
,
所以平面
,则
,
又因为,且
,
所以平面
,由
平面
,则
,
由题意可知,因而
不能成立,因而假设错误,所以D正确;
综上可知,正确的为ABD,
故选:ABD.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知P是圆上任意一点,F2(1,0),线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q,当点P在圆F1上运动时,记点Q的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点的直线l与(1)中曲线相交于A,B两点,O为坐标原点,求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:
质量指标值分组 | [75,85) | [85,95) | [95,105) | [105,115) | [115,125) |
频数 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?
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【题目】如图1,在矩形中,
,
,点
在线段
上,
.把
沿
翻折至
的位置,
平面
,连结
,点
在线段
上,
,如图2.
(1)证明:平面
;
(2)当三棱锥的体积最大时,求二面角
的余弦值.
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【题目】已知抛物线的准线与x轴的交点为H,点F为抛物线的焦点,点P在抛物线上且
,当k最大时,点P恰好在以H,F为焦点的双曲线上,则k的最大值为_____,此时该双曲线的离心率为_____.
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【题目】已知分别为椭圆
的左、右焦点,
为该椭圆的一条垂直于
轴的动弦,直线
与
轴交于点
,直线
与直线
的交点为
.
(1)证明:点恒在椭圆
上.
(2)设直线与椭圆
只有一个公共点
,直线
与直线
相交于点
,在平面内是否存在定点
,使得
恒成立?若存在,求出该点坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来,已发现132颗优质的脉冲星候选体,其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星,脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一,脉冲星就是正在快速自转的中子星,每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)是-定的,最小小到0.0014秒,最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期,绘制了如图的频率分布直方图.
(1)在93颗新发现的脉冲星中,自转周期在2至10秒的大约有多少颗?
(2)根据频率分布直方图,求新发现脉冲星自转周期的平均值.
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