Question

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0使|f（x）|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为°F函数．给出下列函数：
A.f(x)=

x2+1

   B.f(x)=

2x

x2+1

  C.f(x)=

2

2

(sinx+cosx)   D．f（x）是定义在R上的奇函数，且对一切实数x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤a|x₁-x₂|（a＞0）；其中是°F函数的序号

B，D

．

Answer 1

分析：对任意x∈R，存在常数m＞0使|f（x）|≤m|x|对一切实数x均成立，即对任意x∈R，存在正数m，都有 m≥|

f(x)

x

|成立
对各选项，对照定义，一一判断，即可得出结论．

解答：解：对于A，∵|

f(x)

x

|=

x2+1

|x|

=

|x|+ 1 |x|

≥

2

，∴|f(x)|≥

2

|x|，对照定义，可知不满足题意；
对于B，∵|

f(x)

x

|=

2

x2+1

 ≤2，∴存在正数m，都有 m≥|

f(x)

x

|成立，故B满足题意；
对于C，g(x)=|

f(x)

x

|=|

sin(x+ π 4 )

x

|，不难发现：因为x→0时，|

f(x)

x

|→∞，所以不存在常数m＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切实数x均成立，故C不满足题意；
对于D，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故f（0）=0，因而由对一切实数x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤a|x₁-x₂|（a＞0），当x₂=0时，得到|f（x₁）|≤a|x₁|成立，即|f（x）|≤a|x|成立，所以存在m≥a＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切实数x均成立，符合题意．
故答案为：B，D．

点评：本题重点考查了函数的最值及其性质，对选支逐个加以分析变形，利用函数、不等式的进行检验，方可得出正确结论．深刻理解题中°F函数的定义，用不等式的性质加以处理，找出不等式恒成立的条件再进行判断，是解决本题的关键所在．