分析 (1)设圆锥的高与圆柱的下底交点为M,与圆柱的上底交点为O,过O作圆锥底面的平行线OA,交圆锥于A,过M作OA的平行线MN,交圆锥于N,由题意△POA∽△PMN,由此能求出结果.
(2)圆柱的表面积S=πr2•h=πr2(10-2r)=10πr2-2πr3,0<r<5,由此利用导数性质能求出圆柱的表面积的最大值及相应的r的求法.
解答 解:(1)设圆锥的高与圆柱的下底交点为M,与圆柱的上底交点为O,过O作圆锥底面的平行线OA,交圆锥于A,
过M作OA的平行线MN,交圆锥于N,
由题意△POA∽△PMN,
∴$\frac{10-h}{10}=\frac{r}{5}$,
整理,得h=10-2r.(0<r<5).
(2)圆柱的表面积S=πr2•h=πr2(10-2r)=10πr2-2πr3,0<r<5,
S′=20πr-6πr2,
由S′=0,得r=$\frac{10}{3}$,
当0<r<$\frac{10}{3}$时,S′>0;当$\frac{10}{3}<r<5$时,S′<0,
∴r=$\frac{10}{3}$时,圆柱的表面积有最大值,最大值为Smax=10π×$(\frac{10}{3})^{2}$-2$π(\frac{10}{3})^{3}$=$\frac{1000π}{27}$.
点评 本题考查圆柱的高与圆柱的底面半径的关系式的求法,考查当内接圆柱的底面半径为何值时,圆柱的表面积有最大值,最大值是多少的求法,是中档题,解题时要注意导数性质的合理运用.
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