【题目】(本小题满分12分)
如图,已知四棱锥,底面为菱形,,
, 平面, 分别是的中点。
(1)证明: ;
(2)若为上的动点,与平面所成最大角
的正切值为,求二面角的余弦值。
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】试题分析:(1)由已知条件推导出, ,由线面垂直得,由此证明
(2)设为上任意一点,连接、,由平面,得为与平面所成的角,过作于,连接,由已知条件得为二面角的平面角,由此求出二面角的余弦值.
试题解析:(1)证明:由四边形为菱形, ,可得为正三角形。
因为为BC的中点,所以,又,因此,
因为, 平面,所以,
而,所以
(2)设为上任意一点,连接、
由(1)知,
则为与平面所成的角,在中, ,
所以当最短时, 最大,即当时, 最大,
此时,此时,又,
所以 =45,于是
因为平面, 平面,所以平面平面,
过作于,则由面面垂直的性质定理可知: 平面,
所以,过过作于,连接, 平面,
所以,则为二面角的平面角,
在中, ,
又是的中点, ,
且
在中, ,
又=,
在中, ==
即二面角的余弦值为
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【题目】在直角坐标系xOy中,以M(﹣1,0)为圆心的圆与直线 相切.
(1)求圆M的方程;
(2)过点(0,3)的直线l被圆M截得的弦长为 ,求直线l的方程.
(3)已知A(﹣2,0),B(2,0),圆M内的动点P满足|PA||PB|=|PO|2 , 求 的取值范围.
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【题目】已知⊙O:x2+y2=2,⊙M:(x+2)2+(y+2)2=2,点P的坐标为(1,1).
(1)过点O作⊙M的切线,求该切线的方程;
(2)若点Q是⊙O上一点,过Q作⊙M的切线,切点分别为E,F,且∠EQF= ,求Q点的坐标;
(3)过点P作两条相异直线分别与⊙O相交于A,B,且直线PA与直线PB的倾斜角互补,试判断直线OP与AB是否平行?请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=ax2+(b﹣8)x﹣a﹣ab,当x∈(﹣3,2)时,f(x)>0,当x∈(﹣∞,﹣3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式ax2+bx+c≤0的解集为R,求c的取值范围;
(3)当x>﹣1时,求y= 的最大值.
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【题目】设函数f(x)=lnx+ax2+x+1.
(I)a=﹣2时,求函数f(x)的极值点;
(Ⅱ)当a=0时,证明xex≥f(x)在(0,+∞)上恒成立.
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【题目】某市为节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,为了较为合理地确定居民日常用水量的标准,通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位:吨),右表是100位居民月均用水量的频率分布表,根据右表解答下列问题:
分组 | 频数 | 频率 |
[0,1) | 10 | b |
[1,2) | 20 | 0.20 |
[2,3) | a | 0.30 |
[3,4) | 20 | 0.20 |
[4,5) | 10 | 0.10 |
[5,6] | 10 | 0.10 |
合计 | 100 | 1.00 |
(1)求表中a和b的值;
(2)请将频率分布直方图补充完整,并根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数.
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【题目】设fk(n)为关于n的k(k∈N)次多项式.数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn . 对于任意的正整数n,an+Sn=fk(n)都成立. (Ⅰ)若k=0,求证:数列{an}是等比数列;
(Ⅱ)试确定所有的自然数k,使得数列{an}能成等差数列.
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