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    椭圆的离心率为，且过点直线与椭圆M交于A、C两点，直线与椭圆M交于B、D两点，四边形ABCD是平行四边形
    （1）求椭圆M的方程；
    （2）求证：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O；
    （3）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD的面积的最小值
    （1）；（2）详见解析；（3）最小值为

    试题分析：（1）依题意有，再加上，解此方程组即可得的值，从而得椭圆 的方程（2）由于四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD的对角线AC和BD的中点重合
    利用（1）所得椭圆方程，联立方程组消去得：，显然点A、C的横坐标是这个方程的两个根，由此可得线段的中点为 同理可得线段的中点为，由于中点重合，所以，解得：或(舍)这说明和都过原点即相交于原点（3）由于对角线过原点且该四边形为菱形，所以其面积为由方程组易得点A的坐标（用表示），从而得（用表示）；同理可得（由于，故仍可用表示）这样就可将表示为的函数，从而求得其最小值
    试题解析：（1）依题意有，又因为，所以得
    故椭圆的方程为                                    3分
    （2）依题意，点满足
    所以是方程的两个根
    得
    所以线段的中点为 
    同理，所以线段的中点为         5分
    因为四边形是平行四边形，所以
    解得，或(舍)
    即平行四边形的对角线和相交于原点                7分
    （3）点满足
    所以是方程的两个根，即
    故
    同理，                     9分
    又因为，所以，其中
    从而菱形的面积为
    ，
    整理得，其中                 10分
    故，当或时，菱形的面积最小，该最小值为      12分
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆的右焦点，长轴的左、右端点分别为,且.
    （1）求椭圆的方程；
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    以椭圆的一个顶点为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形，试问：（1）这样的等腰直角三角形是否存在？若存在，写出一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程。若不存在，说明理由。（2）这样的等腰直角三角形若存在，最多有几个？

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆：（）的焦距为，且过点（，），右焦点为．设，是上的两个动点，线段的中点的横坐标为，线段的中垂线交椭圆于，两点．

    （1）求椭圆的方程；
    （2）求的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(0，)，且长轴长与短轴长的比是∶1.
     
    (1)求椭圆C的方程；
    (2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于两点， 的周长为8，且面积最大时，为正三角形．

    （1）求椭圆的方程；
    （2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，证明：点在以为直径的圆上.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的短轴长。与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，直线分别与相交于点。

    （1）求、的方程；
    （2）求证：。
    （3）记的面积分别为，若，求的取值范围。

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，椭圆与椭圆中心在原点，焦点均在轴上，且离心率相同．椭圆的长轴长为，且椭圆的左准线被椭圆截得的线段长为，已知点是椭圆上的一个动点．

    ⑴求椭圆与椭圆的方程；
    ⑵设点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，若直线刚好平分，求点的坐标；
    ⑶若点在椭圆上，点满足，则直线与直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    若实数x，y满足x|x|－y|y|＝1，则点(x，y)到直线y＝x的距离的取值范围是(  )
    A．[1，) B．(0，]C．D．(0,1]

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