Question

11．已知在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、E、F、N分别是A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁的中点．求证：
（1）EF∥平面ABCD；
（2）平面AMN∥平面EFDB．

Answer 1

分析 （1）由已知得EF∥B₁D₁，BD∥B₁D₁，从而EF∥BD，由此能证明EF∥平面ABCD．
（2）由已知得EF∥MN，MF$\underset{∥}{=}$AD，从而四边形ADFM是平行四边形，进而AM∥DF，由此能证明平面AMN∥平面EFDB．

解答 证明：（1）∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、E、F、N分别是A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁的中点，
∴EF∥B₁D₁，
∵BD∥B₁D₁，
∴EF∥BD，
∵EF?平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（2）∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、E、F、N分别是A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁的中点，
∴EF∥B₁D₁，MN∥B₁D₁，MF$\underset{∥}{=}$A₁D₁，A₁D₁$\underset{∥}{=}$AD，
∴EF∥MN，MF$\underset{∥}{=}$AD，
∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF，
∵AM∩MN=M，DF∩EF=F，
∴平面AMN∥平面EFDB．

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．