Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+1\\;x≥a}\\{{4}^{x}-4•{2}^{x-a}\\;x＜a}\end{array}\right.$．
（1）当x＜a时，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若存在实数x₁≥a，x₂＜a，使得f（x₁）=f（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若当x＜a时，f（x）＜0恒成立，则4^x-4•2^x-a＜0恒成立，根据指数的运算性质和指数函数的性质，可得答案；
（2）根据已知的分段函数，分a≤0和a＞0两种情况，根据存在实数x₁≥a，x₂＜a，使得f（x₁）=f（x₂）成立，分析两段函数的最值的关系，可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）若当x＜a时，f（x）＜0恒成立，
则4^x-4•2^x-a＜0恒成立，
则4^x＜4•2^x-a恒成立，
则2^2x＜2^x+2-a恒成立，
则2x＜x+2-a恒成立，
则x＜2-a恒成立，
则2-a≥a，
则a≤1，
即实数a的取值范围为a≤1，
（2）若a≤0，
当x＜a时，f（x）＜4^a-4，
当x≥a时，f（x）≥f（$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
由实数x₁≥a，x₂＜a，使得f（x₁）=f（x₂）成立得：4^a-4＞1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
此时不存在满足条件的a值；
若a＞0，
当x＜a时，f（x）＜4^a-4，
当x≥a时，f（x）≥f（a）=1，
由实数x₁≥a，x₂＜a，使得f（x₁）=f（x₂）成立得：4^a-4＞1，
解得：a＞log₄5

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，恒成立问题和存在性问题，将上述问题转化为最值问题是解答的关键．