【题目】已知函数.
(1)当时,判断函数的单调性;
(2)当有两个极值点时,求a的取值范围,并证明的极大值大于2.
【答案】(1)为(0,+∞)上的减函数.(2)见解析
【解析】
(1)求出函数的导数,法1:结合二次函数的性质判断导函数的符号,求出函数的单调性即可;法2:令h(x)=(-x2+3x-3)ex-a,根据函数的单调性求出h(x)的最大值,判断即可;(2)令h(x)=(-x2+3x-3)ex-a,求出函数的导数,根据函数的单调性得到h(x)=0有两不等实数根x1,x2(x1<x2),求出a的范围,求出f(x)的极大值判断即可.
(1)由题知.
方法1:由于,,,
又,所以,从而,
于是为(0,+∞)上的减函数.
方法2:令,则,
当时,,为增函数;当时,,为减函数.
则.由于,所以,
于是为(0,+∞)上的减函数.
(2)令,则,
当时,,为增函数;当时,, 为减函数.
当x趋近于时, 趋近于,
由于有两个极值点,所以有两不等实根,即有两不等实数根().
则有解得.可知,
又,则,
当 时,,单调递减;当 时,,单调递增;当 时,,单调递减.
则函数在时取极小值,在时取极大值.
即,
而,即,
所以极大值.当时,恒成立,
故为上的减函数,所以
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆M:(a>b>0)的离心率为,左右顶点分別为A,B,线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限,过点A,B分别作l1⊥PA,l2⊥PB,直线l1,l2交于点C.
(1)若点C的横坐标为﹣1,求P点的坐标;
(2)直线l1与椭圆M的另一交点为Q,且,求的取值范围.
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【题目】如图,四边形是边长为的正方形,为的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且二面角为直二面角,连结.
(1)记平面与平面相较于,在图中作出,并说明画法;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】某单位为了响应疫情期间有序复工复产的号召,组织从疫区回来的甲、乙、丙、丁4名员工进行核酸检测,现采用抽签法决定检测顺序,在“员工甲不是第一个检测,员工乙不是最后一个检测”的条件下,员工丙第一个检测的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】新高考改革后,国家只统一考试数学和语文,英语学科改为参加等级考试,每年考两次,分别放在每个学年的上、下学期,物理、化学、生物、地理、历史、政治这六科则以该省的省会考成绩为准.考生从中选择三科成绩,参加大学相关院系的录取.
(1)若英语等级考试成绩有一次为优,即可达到某211院校的录取要求.假设某个学生参加每次等级考试事件是独立的,且该生英语等级考试成绩为优的概率都是,求该生在高二上学期的英语等级考试成绩才为优的概率;
(2)据预测,要想报考该211院校的相关院系,省会考的成绩至少在90分以上,才有可能被该校录取.假设该生在省会考六科的成绩,考到90分以上概率都是,设该生在省会考时考到90分以上的科目数为,求的分布列及数学期望.
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【题目】为迎接年北京冬季奥运会,普及冬奥知识,某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了名学生,将他们的比赛成绩(满分为分)分为组:,,,,,,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值;
(2)记表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生,该学生的比赛成绩不低于分”,估计的概率;
(3)在抽取的名学生中,规定:比赛成绩不低于分为“优秀”,比赛成绩低于分为“非优秀”.请将下面的列联表补充完整,并判断是否有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”?
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
参考公式及数据:,.
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