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11.已知函数f(x)=ex-kx,x∈R(e是自然对数的底数).
(1)若k∈R,求函数f(x)的单调区间;
(2)若k>0,讨论函数f(x)在(-∞,4]上的零点个数.

分析 (1)由已知中函数的解析式,求出导函数的解析式,对k进行分类讨论,确定x在不同情况下导函数的符号,进而可得函数的单调性.
(2)根据(1)中函数的单调性k>0时,讨论k取不同值时函数零点个数,最后综合讨论结果,可得答案.

解答 解:(1)由f(x)=ex-kx,x∈R,得f'(x)=ex-k,
①当k≤0时,则f'(x)=ex-k>0对x∈R恒成立,
此时f(x)的单调递增,递增区间为(-∞,+∞);                           
②当k>0时,
由f'(x)=ex-k>0,得到x>lnk,
由f'(x)=ex-k<0,得到x<lnk,
所以,k>0时,f(x)的单调递增区间是(lnk,+∞);递减区间是(-∞,lnk);
综上,当k≤0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).
(2)当k>0时,f(x)的单调递增区间是(lnk,+∞);递减区间是(-∞,lnk),
当k>0时,令f'(x)=ex-k=0,
得x=lnk,且f(x)在(-∞,lnk)上单调递减,在(lnk,+∞)上单调递增,f(x)在x=lnk时取得极小值,
即f(x)在(-∞,4]上最多存在两个零点.
(ⅰ)若函数f(x)在(-∞,4]上有2个零点,
则 $\left\{\begin{array}{l}{lnk<4}\\{f(lnk)=k(1-lnk)<0}\\{f(4)≥0}\end{array}\right.$,
解得k∈(e,$\frac{{e}^{4}}{4}$];
(ⅱ)若函数f(x)在(-∞,4]上有1个零点,
则f(4)<0或 $\left\{\begin{array}{l}{lnk≤4}\\{f(lnk)=0}\end{array}\right.$,
解得k∈($\frac{{e}^{4}}{4}$,+∞)或k=e;                                                               
(ⅲ)若函数f(x)在(-∞,4]上没有零点,
则 $\left\{\begin{array}{l}{lnk>4}\\{f(4)>0}\end{array}\right.$或f(lnk)=k(1-lnk)>0,
解得k∈(0,e).                                                        
综上所述,当k∈(e,$\frac{{e}^{4}}{4}$]时,f(x)在(-∞,4]上有2个零点;
当k∈($\frac{{e}^{4}}{4}$,+∞)∪(-∞,0)或k=e时,f(x)在(-∞,4]上有1个零点;
当k∈[0,e)时,f(x)在(-∞,4]上无零点.

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,利用导数研究函数的单调性,是导数的综合应用,特别是第(2)中分类比较复杂,难度较大.

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