Question

已知椭圆的上、下焦点分别为F₂和F₁，点A（1，-3），
（1）在椭圆上有一点M，使|F₂M|+|MA|的值最小，求最小值；
（2）当|F₂M|+|MA|取最小值时，求三角形AMF₂的周长．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的定义表示出|MF₁|+|MF₂|，利用三点共线求出|F₂M|+|MA|的最小值，以及取得最小值时的条件；
（2）当|F₂M|+|MA|取最小值时，此时M、A、F₁共线．结合椭圆的定义及两点间的距离公式，从而三角形AMF₂的周长．
解答：解：（1）如图，椭圆的a=5，b=3，c=4．F₂（0，4），F₂（0，4），
|AF₁|=，M是椭圆上任一点，由|MF₁|+|MF₂|=2a=10，
∴|F₂M|+|MA|≥2a-|MF₁|+|MA|=10-（|MF₁|-|MA|）≥10-|AF₁|≥10-，
等号仅当|MF₁|-|MA|=|AF₁|时成立，此时M、A、F₁共线．
∴|F₂M|+|MA|的值最小值为10-，
（2）当|F₂M|+|MA|取最小值时，此时M、A、F₁共线．
三角形AMF₂的周长：
l=|MF₂|+|MA|+|AF₂|=|MF₂|+|MF₁|-|MA|+|AF₂|
=10-+5=10-4．
点评：本题考查椭圆的定义及定义的应用，表达式的几何意义的应用，考查转化思想与计算能力．