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10.设实数x,y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y≤2\end{array}$,则u=$\frac{x+y}{x}$的取值范围是(  )
A.$[{\frac{4}{3},\frac{3}{2}}]$B.$[{\frac{1}{3},2}]$C.$[{\frac{4}{3},3}]$D.$[{\frac{3}{2},3}]$

分析 作出不等式组对应的平面区域,利用直线斜率的几何意义进行求解.

解答 解:作出不等式组对应的平面区域如图:
则u=$\frac{x+y}{x}$=1+$\frac{y}{x}$,
设k=$\frac{y}{x}$,则u=1+k,k的几何意义是区域内的点到原点的斜率,
由图象知OA的斜率最大,OB的斜率最小,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$,即A(1,2),
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$,即B(3,1),
则OA的斜率最大为k=2,OB的斜率最小为k=$\frac{1}{3}$,
即$\frac{1}{3}$≤k≤2,则$\frac{4}{3}$≤1+k≤3,
即$\frac{4}{3}$≤z≤3,
故选:C.

点评 本题主要考查线性规划以及直线斜率公式的应用,利用数形结合是解决本题的关键.

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