Question

10．设实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y≤2\end{array}$，则u=$\frac{x+y}{x}$的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{4}{3}，\frac{3}{2}}]$
• B． $[{\frac{1}{3}，2}]$
• C． $[{\frac{4}{3}，3}]$
• D． $[{\frac{3}{2}，3}]$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
则u=$\frac{x+y}{x}$=1+$\frac{y}{x}$，
设k=$\frac{y}{x}$，则u=1+k，k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，
由图象知OA的斜率最大，OB的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（3，1），
则OA的斜率最大为k=2，OB的斜率最小为k=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{3}$≤k≤2，则$\frac{4}{3}$≤1+k≤3，
即$\frac{4}{3}$≤z≤3，
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划以及直线斜率公式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．