Question

记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，则的取值范围为(     )

A．

B．

C．

D．

Answer 1

B

试题分析：由题意可知不能为平角，那么则为钝角时，数量积小于零。
由题设可知，以DA,DC,DD₁，单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
由D₁B=(1，1，-1)，得D₁P==λ，D₁B=(λ，λ，-λ)，所以PA=PD₁+D₁A=(-λ，-λ，λ)+(1，0，-1)=(1-λ，-λ，λ-1),PC= =(-λ，-λ，λ)+(0，1，-1)=(-λ，1-λ，λ-1)
显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC=cos＜PA,PC>=<0等价于
即（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）²=（λ-1）（3λ-1）＜0，得＜λ＜1因此，λ的取值范围是(，1)，选B。
点评：解决该试题的关键是建立空间直角坐标系，表示出向量的坐标，运用向量的夹角公式得到参数的范围。