Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC等边三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．求证： （Ⅰ） EF∥平面A1BC1；
（Ⅱ） 平面AEF⊥平面BCC1B1 ．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）因为E，F分别是BC，CC1的中点， 所以EF∥BC1 ．
又因为BC1平面A1BC1 ， EF平面A1BC1 ，
所以EF∥平面A1BC1 ． （6分）
（Ⅱ）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
所以BB1⊥平面ABC．又AE平面ABC，
所以AE⊥BB1 ．
又因为△ABC为正三角形，E为BC的中点，
所以AE⊥BC．
又BB1∩BC=B，所以AE⊥平面BCC1B1 ．
又AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面BCC1B1 ．

【解析】（Ⅰ）由三角形中位线定理得EF∥BC1 ， 由此能证明EF∥平面A1BC1 ． （Ⅱ）由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得AE⊥BB1 ， 由正三角形性质得AE⊥BC，由此能证明平面AEF⊥平面BCC1B1 ．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即可以解答此题．