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9.已知向量$\overrightarrow{a}$=(cos2x,$\sqrt{3}$sinx),$\overrightarrow{b}$=(1,cosx),函数f(x)=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+m,且当x∈[0,$\frac{π}{6}$]时,f(x)的最小值为2.
(Ⅰ)求m的值,并求f(x)图象的对称轴方程;
(Ⅱ)设函数g(x)=[f(x)2]-f(x),x∈[0,$\frac{π}{6}$],求g(x)的最大值.

分析 (Ⅰ)根据平面向量数量积的坐标运算,利用三角恒等变换公式,即可求出结果;
(Ⅱ)求出f(x)的值域,再用换元法计算设f(x)=t,求y=g(t)的最大值即可.

解答 解:(Ⅰ)∵$\overrightarrow{a}$=(cos2x,$\sqrt{3}$sinx),$\overrightarrow{b}$=(1,cosx),
∴f(x)=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+m
=2cos2x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+m
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+m+1
=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)+m+1,
又x∈[0,$\frac{π}{6}$],
∴sin(2x+$\frac{π}{6}$)∈[$\frac{1}{2}$,1],
∴f(x)的最小值为m+2=2,解得m=0;
∴f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)+1;
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,
得f(x)图象的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$,k∈Z;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知x∈[0,$\frac{π}{6}$]时,
sin(2x+$\frac{π}{6}$)∈[$\frac{1}{2}$,1],f(x)∈[2,3];
设f(x)=t,则y=g(t)=t2-t,t∈[2,3],
∴t=3时y取得最大值6;
即函数g(x)的最大值为6.

点评 本题考查了平面向量的数量积以及三角恒等变换的应用问题,也考查了复合函数的最值问题,是基础题目.

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