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已知:直线x+y=1交椭圆mx2+ny2=1于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点)
(1)求证:椭圆过定点;
(2)若椭圆的离心率在[
3
3
2
2
]
上变化时,求椭圆长轴的取值范围.
(1)证明:由
mx2+ny2=1
x+y=1
?(m+n)x2-2nx+n-1=0
…(2分)
由△=4n2-4(m+n)(n-1)>0得:m+n-mn>0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则:x1+x2=
2n
m+n
x1x2=
n-1
m+n

∵OA⊥OB,∴x1x2+(1-x1)(1-x2)=0,即2x1x2-(x1+x2)+1=0,
2(n-1)
m+n
-
2n
m+n
+1=0
,即
1
2
m+
1
2
n=1

∴椭圆恒过定点(
2
2
2
2
)
(
2
2
,-
2
2
)
(-
2
2
2
2
)
(-
2
2
,-
2
2
)

(2)设椭圆的焦点在x轴上,
3
3
≤e≤
2
2
,∴
1
3
e2
1
2
,∴
1
2
m
n
2
3

由(1)得n=2-m,代入上式,得
1
2
1
2
m
-1
2
3
,得
5
2
1
m
6
2

5
≤2
1
m
6

∴椭圆长轴的取值范围是[
5
6
].
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3
3
2
2
]
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