Question

已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x+y-20=0．
（I）求抛物线S的方程；
（II）若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足PO⊥OQ．试说明动直线PQ是否过一个定点．

Answer 1

解：（I）设抛物线S的方程为y²=2px．（1分）
由可得2y²+py-20p=0．（3分）
由△＞0，有p＞0，或p＜-160．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则，
∴（5分）
设A（x₃，y₃），由△ABC的重心为，则，
∴（6分）
∵点A在抛物线S上，
∴，
∴p=8．（7分）
∴抛物线S的方程为y²=16x．（8分）
（II）当动直线PQ的斜率存在时，
设动直线PQ方程为y=kx+b，显然k≠0，b≠0．（9分）
∵PO⊥OQ，
∴k_OP•k_OQ=-1．
设P（x_P，y_P）Q（x_Q，y_Q）
∴，
∴x_Px_Q+y_Py_Q=0．（10分）
将y=kx+b代入抛物线方程，得ky²-16y+16b=0，
∴
从而，
∴
∵k≠0，b≠0，
∴b=-16k，
∴动直线方程为y=kx-16k=k（x-16），
此时动直线PQ过定点（16，0）．（12分）
当PQ的斜率不存在时，显然PQ⊥x轴，又PO⊥OQ，
∴△POQ为等腰直角三角形．
由得到P（16，16），Q（16，-16），
此时直线PQ亦过点（16，0）．（13分）
综上所述，动直线PQ过定点：M（16，0）．（14分）
分析：（I）设抛物线S的方程为y²=2px，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合直线l与抛物线相交于两个不同的点得到根的判别式大于0，结合根与系数的关系利用重心公式即可求得p值，从而解决问题．
（II）先对动直线的斜率进行分类讨论．当动直线PQ的斜率存在时，设动直线PQ方程为y=kx+b，将y=kx+b代入抛物线方程，得ky²-16y+16b=0，利用垂直关系求得b与k的关系，此时直线PQ过一个定点．当PQ的斜率不存在时，此时直线PQ亦过此点，从而问题解决．
点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、恒过定点的直线、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．