【题目】在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: =1(a>b>0)过点P(1, ).离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点.
①若直线l过椭圆C的右焦点,记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t.
求t的最大值;
②若直线l的斜率为,试探究OA2+ OB2是否为定值,若是定值,则求出此
定值;若不是定值,请说明理由.
【答案】(1)(2)当时,t有最大值;定值7
【解析】试题分析: (1)由椭圆过点P(1, ),离心率为,列出方程组,求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.
(2)①设直线l的方程为x=my+1,代入椭圆,得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,由此利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件能求出t的最大值.
②设直线l的方程为,代入椭圆,得,由此利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件能求出OA2+OB2为定值.
试题解析:
(1) 得 所以椭圆.
(2)①设直线l的方程为,直线l与椭圆C的交点为,
由化简得,易知,
所以,
所以=,
所以,
所以当时,t有最大值.
②设直线l的方程为,直线l与椭圆C的交点为,
得,
,即.
,
,
=
=
==7.
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【题目】直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线满足下列条件:①△AOB的周长为12;②△AOB的面积为6.若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】收入是衡量一个地区经济发展水平的重要标志之一,影响收入的因素有很多,为分析学历对收入的作用,某地区调查机构欲对本地区进行了此项调查.
(1)你认为应采用何种抽样方法进行调查?
(2)经调查得到本科学历月均收入条形图如图,试估算本科学历月均收入的值?
(3)设学年为,令,月均收入为,已知调查机构调查结果如下表
学历 (年) | 小学 | 初中 | 高中 | 本科 | 硕士生 | 博士生 |
6 | 9 | 12 | 16 | 19 | 22 | |
2.0 | 2.7 | 3.7 | 5.8 | 7.8 | ||
2210 | 2410 | 2910 | 6960 |
从散点图中可看出和的关系可以近似看成是一次函数图像. 若回归直线方程为,试预测博士生的平均月收入.
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【题目】已知函数f(x)= sinωx+cosωx(ω>0)的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π,则f(x)的单调递减区间是( )
A.[kπ+ ,kπ+ ],k∈z
B.[kπ﹣ ,kπ+ ],k∈z
C.[2kπ+ ,2kπ+ ],k∈z
D.[2kπ﹣ ,2kπ+ ],k∈z
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【题目】已知函数f(x)=sin2x+sinx+cosx,以下说法中不正确的是( )
A.f(x)周期为2π
B.f(x)最小值为﹣
C.f(x)在区间[0, ]单调递增
D.f(x)关于点x= 对称
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【题目】已知抛物线的焦点为,点与关于坐标原点对称,直线垂直于轴,垂足为,与抛物线交于不同的两点, ,且.
(1)求点的横坐标.
(2)若以, 为焦点的椭圆过点
(ⅰ)求椭圆的标准方程;
(ⅱ)过点作直线与椭圆交于, 两点,设,若,求的取值范围.
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【题目】已知函数定义在上且满足下列两个条件:
①对任意都有;
②当时,有,
(1)求,并证明函数在上是奇函数;
(2)验证函数是否满足这些条件;
(3)若,试求函数的零点.
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