Question

11．已知函数f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（n∈N^*），且a₁，a₂，a₃，…，a_n构成数列{a_n}，又f（1）=n²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：$f（\frac{1}{3}）＜1$．

Answer 1

分析 （1）通过f（1）=a₁+a₂+…+a_n=n²（n∈N^*），可知当n≥2时，a_n=n²-（n-1）²=2n-1，进而可得结论；
（2）通过（1）可知f（$\frac{1}{3}$）的表达式，进而可知$\frac{1}{3}$f（$\frac{1}{3}$）的表达式，利用错位相减法计算可知f（$\frac{1}{3}$）=1-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$，放缩即得结论．

解答 （1）解：由题意：f（1）=a₁+a₂+…+a_n=n²（n∈N^*），
当n=1时，a₁=1，
当n≥2时，a_n=（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁+a₂+…+a_n-1）=n²-（n-1）²=2n-1，
∴对n∈N^*总有a_n=2n-1，
即数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1；
（2）证明：由（1）可知，f（$\frac{1}{3}$）=1•$\frac{1}{{3}^{1}}$+3•$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{1}{3}$f（$\frac{1}{3}$）=1•$\frac{1}{{3}^{2}}$+3•$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{2}{3}$f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{{3}^{1}}$+2（$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）-（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{1}{3}$+2•$\frac{\frac{1}{{3}^{2}}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{2}{3}$-$\frac{2n+2}{{3}^{n+1}}$，
∴f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{3}{2}$•（$\frac{2}{3}$-$\frac{2n+2}{{3}^{n+1}}$）=1-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$＜1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．