Question

【题目】已知P是圆上任意一点，F2(1,0)，线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）过点的直线l与（1）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.

Answer 1

【答案】（1）.（2）面积的最大值为，此时直线l的方程为.

【解析】

（1）根据垂直平分线的性质，利用椭圆定义法可求得曲线C的方程；

（2）设直线l的方程为x=ty与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与椭圆的方程消去x，利用韦达定理结合三角形的面积，利用换元法以及基本不等式求解最值，然后推出直线方程.

（1）由已知|QF1|+|QF2|=|QF1|+|QP|=|PF1|=4，

所以点Q的轨迹为以为，焦点，长轴长为4的椭圆，

则2a=4且2c=2，所以a=2，c=1，则b2=3，

所以曲线C的方程为；

（2）设直线l的方程为x=ty与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立直线与椭圆的方程消去x，得(3t2+4)y2﹣6ty﹣3=0，

则y1+y2，y1y2，

则S△AOB|OM||y1﹣y2|，

令，则u≥1，上式可化为，

当且仅当u，即t=±时等号成立，

因此△AOB面积的最大值为，此时直线l的方程为x=±.