已知函数.
(1)是否存在点,使得函数
的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数
的图像上?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(2)定义,其中
,求
;
(3)在(2)的条件下,令,若不等式
对
且
恒成立,求实数
的取值范围.
(1)存在,且点的坐标为
;(2)
;(3)
的取值范围是
.
解析试题分析:(1)先假设点的坐标,根据图象对称的定义列式求出点
的坐标即可;(2)利用(1)中条件
的条件,并注意到定义
中第
项与倒数第
项的和
这一条件,并利用倒序相加法即可求出
的表达式,进而可以求出
的值;(3)先利用
和
之间的关系求出数列
的通项公式,然后在不等式
中将
与含
的代数式进行分离,转化为
恒成立的问题进行处理,最终利用导数或作差(商)法,通过利用数列
的单调性求出
的最小值,最终求出实数
的取值范围.
试题解析:(1)假设存在点,使得函数
的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数
的图像上,则函数
图像的对称中心为
.
由,得
,
即对
恒成立,所以
解得
所以存在点,使得函数
的图像上任意一点
关于点M对称的点
也在函数
的图像上.
(2)由(1)得.
令,则
.
因为①,
所以②,
由①+②得,所以
.
所以.
(3)由(2)得,所以
.
因为当且
时,
.
所以当且
时,不等式
恒成立
.
设,则
.
当时,
,
在
上单调递减;
当时,
,
在
上单调递增.
因为,所以
,
所以当且
时,
.
由,得
,解得
.
所以实数的取值范围是
.
考点:函数的对称性、倒序相加法、导数
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
规定其中
,
为正整数,且
=1,这是排列数
(
是正整数,
)的一种推广.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ)排列数的两个性质:①,②
(其中m,n是正整数).是否都能推广到
(
,
是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不能,则说明理由;
(Ⅲ)已知函数,试讨论函数
的零点个数.
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