分析 (I)由条件利用正弦函数的图象的对称性,求得φ的值.
(Ⅱ)由条件利用正弦函数的单调性,求得函数y=f(x)的单调增区间.
(Ⅲ)利用三角恒等变换化简函数g(x)的解析式,从而求得函数的周期,正弦函数的定义域和值域.
解答 解:(I)∵函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)的图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{8}$,
∴f(0)=f($\frac{π}{4}$),即sinφ=sin($\frac{π}{2}$+π)=cosφ,∴φ=$\frac{π}{4}$.
(Ⅱ)∵函数y=f(x)=sin(2x+$\frac{π}{4}$),令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,
求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$,可得函数的增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$,kπ+$\frac{π}{8}$],k∈Z.
(Ⅲ)设函数g(x)=f($\frac{x}{2}$+$\frac{π}{8}$)sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\sqrt{3}$cos2x=sin(x+$\frac{π}{2}$)sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$
=cosx•sinx-$\frac{cos2x}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin(2x-$\frac{π}{4}$),
故它的周期为$\frac{2π}{2}$=π.
在区间[0,$\frac{π}{2}$]上,2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{4}$],sin(2x+$\frac{π}{4}$)∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,1],
故函数f(x)的最大值为1.
点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性,正弦函数的单调性、和周期性,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | ②③ | B. | ② | C. | ①②③ | D. | ①③ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 3$+2\sqrt{2}$ | B. | $\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$ | C. | 2$\sqrt{2}$ | D. | $\sqrt{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
卖家意向价(元) | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 2.4 |
意向股数 | 200 | 400 | 500 | 100 |
买家意向价(元) | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 2.4 |
意向股数 | 600 | 300 | 300 | 100 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 单调增函数,且f(x)<0 | B. | 单调减函数,且f(x)<0 | ||
C. | 单调增函数,且f(x)>0 | D. | 单调增函数,且f(x)>0 |
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