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已知函数f(x)=alnx+bx,且f(1)=-1,f′(1)=0,
(1)求f(x);
(2)求f(x)的最大值;
(3)若x>0,y>0,证明:lnx+lny≤
xy+x+y-32
分析:(1)由f(1)=-1,f′(1)=0列方程组解出即可;
(2)求导数f′(x),在定义域内解不等式f′(x)>0,f′(x)<0,以表格形式列出,求出极值点,从而得到最值点,代入即可求得最大值;
(3)由(2)得lnx≤x-1恒成立,lnx+lny=
lnxy
2
+
lnx+lny
2
xy-1
2
+
x-1+y-1
2
,整理即证;
解答:(1)解:由b=f(1)=-1,f′(1)=a+b=0,∴a=1,
∴f(x)=lnx-x为所求;
(2)解:∵x>0,f′(x)=
1
x
-1=
1-x
x
,当x变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表:
x 0<x<1 x=1 x>1
f′(x) + 0 -
f(x) 极大值
∴f(x)在x=1处取得极大值-1,即所求最大值为-1;
(3)证明:由(2)得lnx≤x-1恒成立,
∴lnx+lny=
lnxy
2
+
lnx+lny
2
xy-1
2
+
x-1+y-1
2
=
xy+x+y-3
2
成立.
点评:本题考查利用导数求函数的最值及证明不等式问题,利用导数证明不等式往往根据前面结论:如最值等.
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已知函数f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)当a∈[-2,
1
4
)
时,求f(x)的最大值;
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34
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(-∞,-2)
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