Question

已知二次函数y=f（x）（x∈R）的图象过点（0，-3），且f（x）＞0的解集（1，3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数y=f(sinx)，x∈[0，

π

2

]的最值．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得二次函数与x轴的交点分别为（1，0）和（3，0），可设此二次函数的两根式，把（0，-3）代入即可求出解析式；
（2）由（1）求出的二次函数的解析式，利用二次函数在sinx值域的区间求最值的方法得到函数的最值即可．

解答：解：（1）因为f（x）＞0的解集（1，3），所以二次函数与x轴的交点为（1，0）和（3，0）
则设f（x）=a（x-1）（x-3），又因为函数图象过（0，-3），代入f（x）得：a=-1．
所以f（x）的解析式为f（x）=-（x-1）（x-3）=-x²+4x-3；
（2）由（1）得f（x）=-（x-2）²+1，
所以f（sinx）=-（sinx-2）²+1，
因为x∈[0，

π

2

]，所以sinx∈[0，1]，
由正弦函数和f（x）都在[0，1]上单调递增，
所以x∈[0，1]时，f（sinx）最小值为-3，最大值为0．

点评：此题考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，会求复合函数的最值．学生在求函数最值时应注意自变量的取值范围．