Question

已知等差数列{a_n}满足a₃=5，且a₅-2a₂=3．又数列{b_n}中，b₁=3且3b_n-b_n+1=0（n=1，2，3，…）．
（I） 求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若a_i=b_j，则称a_i（或b_j）是{a_n}，{b_n}的公共项．
①求出数列{a_n}，{b_n}的前4个公共项；
②从数列{a_n}的前100项中将数列{a_n}与{b_n}的公共项去掉后，求剩下所有项的和．

Answer 1

分析：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，根据a₃=5，且a₅-2a₂=3，求出基本量，从而可得数列{a_n}的通项公式；利用等比数列的通项公式可得{b_n}的通项公式；
（II）①利用数列{a_n}，{b_n}的通项公式，可得前4个公共项；
②确定数列{a_n}的前100项中包含4个公共项，利用等差数列的求和公式，可得结论．

解答：解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，则
∵a₃=5，且a₅-2a₂=3
∴a₁+2d=5，-a₁+2d=3
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
∵3b_n-b_n+1=0，
∴

bn+1

bn

=3，
∴数列{b_n}是以b₁=3为首项，公比为3的等比数列．
∴b_n=3×3^n-1=3ⁿ；
（II）①数列{a_n}，{b_n}的前4个公共项为3，9，27，81；
②∵a₁₀₀=199，81＜a₁₀₀＜243
∴数列{a_n}的前100项中包含4个公共项
∵S100=

100(1+199)

2

=10000
∴数列{a_n}的前100项中将数列{a_n}与{b_n}的公共项去掉后，剩下所有项的和为10000-3-9-27-81=9980．

点评：本小题主要考查数列通项，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及运算求解能力，属于中档题．