Question

14．对任意的实数m，直线y=mx+n-1与椭圆x²+4y²=1恒有公共点，则n的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{1}{2}，\frac{3}{2}]$
• B． $（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$
• C． $[-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}]$
• D． $（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$

Answer 1

分析 直线方程与椭圆方程联立化为（1+4m²）x²+8m（n-1）x+4（n-1）²-1=0，由于直线y=mx+n-1与椭圆x²+4y²=1恒有公共点，可得△≥0，解出即可得出．

解答 解：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为（1+4m²）x²+8m（n-1）x+4（n-1）²-1=0，
∵直线y=mx+n-1与椭圆x²+4y²=1恒有公共点，
∴△=64m²（n-1）²-4（1+4m²）[4（n-1）²-1]≥0，
化为：4n²-8n+3≤4m²，
由于对于任意的实数m上式恒成立，
∴4n²-8n+3≤0，
解得$\frac{1}{2}≤n≤\frac{3}{2}$．
∴n的取值范围是$[\frac{1}{2}，\frac{3}{2}]$．
故选：A．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．