【题目】(本题满分12分)已知函数(R).
(1)当取什么值时,函数取得最大值,并求其最大值;
(2)若为锐角,且,求的值.
【答案】(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)
(1) 解:
…… 1分
…… 2分
. …… 3分
∴当,即Z时,函数取得最大值,其值为.
…… 5分
(2)解法1:∵, ∴. …… 6分
∴. …… 7分
∵为锐角,即, ∴.
∴. …… 8分
∴. …… 9分
∴. …… 10分
∴.
∴.
∴或(不合题意,舍去) …… 11分
∴. …… 12分
解法2: ∵, ∴.
∴. …… 7分
∴. …… 8分
∵为锐角,即,
∴. …… 9分
∴. …… 10分
∴. …… 12分
解法3:∵, ∴.
∴. …… 7分
∵为锐角,即, ∴.
∴. …… 8分
∴…… 9分
…… 10分
. …… 12分
【解析】
(1)由倍角公式,辅助角公式,化简f(x),利用三角函数的图像和性质即可得解.
(2)把代入f(x)的解析式得f()的解析式,可求得,进而求得.
(1)f(x)=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x,
,
.
∴当,即Z)时,函数f(x)取得最大值,其值为.
(2)∵,∴.
∴.
∵θ为锐角,
∴.
∴.
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【题目】某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
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【题目】已知椭圆E: =1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P( , )在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设不过原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,
证明:︳MA︳︳MB︳=︳MC︳︳MD︳
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【题目】定义在R上的函数f(x)=ax2+x.
(Ⅰ)当a>0时,求证:对任意的x1,x2∈R都有[f(x1)+f(x2)]成立;
(Ⅱ)当x∈[0,2]时,|f(x)|≤1恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若a=,点p(m,n2)(m∈Z,n∈Z)是函数y=f(x)图象上的点,求m,n.
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【题目】如图,在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的重心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有下列结论:
①PC∥平面OMN;
②平面PCD∥平面OMN;
③OM⊥PA;
④直线PD与直线MN所成角的大小为90°.
其中正确结论的序号是______.(写出所有正确结论的序号)
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【题目】已知圆M的方程为x 2+(y-2)2=1,直线l的方程为x-2y=0,点P在直线l上,过P点作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.
(1)若∠APB=60°,试求点P的坐标;
(2)若P点的坐标为(2,1),过P作直线与圆M交于C,D两点,当时,求直线CD的方程;
(3)求证:经过A,P,M三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
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【题目】如图,四边形ABCD是圆柱OO′的轴截面,点P在圆柱OO′的底面圆周上,圆柱OO′的底面圆的半径OA=1,侧面积为2π,∠AOP=60°.
(1)求证:PB⊥平面APD;
(2)是否存在点G在PD上,使得AG⊥BD;并说明理由.
(3)求三棱锥D-AGB的体积.
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【题目】已知椭圆:的离心率为,,分别为椭圆的左、右焦点,过的直线与相交于、两点,的周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若椭圆上存在点,使得四边形为平行四边形,求此时直线的方程.
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