Question

如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求三棱锥A-BCE的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由DE⊥平面ACD，得DE⊥AF．再由等腰三角形的中线也是高，得到AF⊥CD，结合线面垂直的判定定理，可得AF⊥平面CDE．
（II）由直线与平面平行的性质，可知点E到平面ABC的距离h等于点D到平面ABC的距离，并且这个距离等于△ABC中AC边上的高，这样将三棱锥A-BCE的体积转化为三棱锥E-ABC的体积，再结合Rt△ABC的面积，不难求出该几何体的体积．

解答：解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．
又∵AC=AD，F为CD中点，∴AF⊥CD，
∵CD∩DE=D，CD、DE⊆平面CDE
∴AF⊥平面CDE．
（Ⅱ）∵AB⊥平面ACD，可得AB⊥AC，
∴S△ABC=

1

2

×2×1=1，
∵DE∥AB，
∴点E到平面ABC的距离h等于点D到平面ABC的距离，
即△ABC中AC边上的高h=

3

2

×2=

3

．
∴三棱锥体积V_{三棱锥A-BCE}=V_{三棱锥E-ABC}=

1

3

S△_ABC中×h=

1

3

×1×

3

=

3

3

．

点评：本题给出特殊多面体，求证线面垂直并且求三棱锥的体积，着重考查了直线与平面垂直的判定与性质、直线与平面的距离和锥体的体积公式等知识点，属于基础题．