Question

已知函数f（x）=cos

2x

5

+sin

2x

5

（x∈R），给出以下命题：①函数f（x）的最大值是2；②周期是

5π

2

；③函数f（x）的图象上相邻的两条对称轴之间的距离是

5π

2

； ④对任意x∈R，均有f（5π-x）=f（x）成立；⑤点（

15π

8

，0）是函数f（x）图象的一个对称中心．其中正确命题的序号是

③⑤

．

Answer 1

分析：利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）=

2

sin（

2x

5

+

π

4

），由此确定函数的对称性、周期性、最值，从而得到答案．

解答：解：∵函数f（x）=cos

2x

5

+sin

2x

5

=

2

sin（

2x

5

+

π

4

） （x∈R），故其最大值等于

2

，周期等于

2π

2 5

=5π，两条相邻的对称轴之间的距离是

5π

2

，
故①②不正确，③正确．
令

2x

5

+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈z，可得 x=

5kπ

2

+

5π

8

，k∈z，故函数f（x）的对称轴为 x=

5kπ

2

+

5π

8

，k∈z，故函数不关于x=

5π

2

对称，故④不正确．
当x=

15π

8

时，函数f（x）=

2

sin（

2

5

×

15π

8

+

π

4

）=sinπ=0，故点（

15π

8

，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，故⑤正确．
综上，只有③⑤正确，
故答案为：③⑤．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+∅）的对称性、周期性、最值，利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）=

2

sin（

2x

5

+

π

4

），
是解题的突破口，属于中档题．