Question

（2011•西城区一模）已知{a_n}是公比为q的等比数列，且a₁+2a₂=3a₃．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{b_n}是首项为2，公差为q的等差数列，其前n项和为T_n．当n≥2时，试比较b_n与T_n的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得a₁+2a₁q=3a₁q²，因为{a_n}是等比数列，所以3q²-2q-1=0．由此能求出q的值．
（Ⅱ）当q=1时，b_n=n+1，Tn=

n2+3n

2

，Tn-bn=

n2+n-2

2

＞0．故当q=1时，T_n＞b_n（n≥2）．当q=-

1

3

时，bn=2+(n-1)(-

1

3

)=

7-n

3

，Tn=2n+

n

2

(n-1)(-

1

3

)=

13n-n2

6

，Tn-bn=-

(n-1)(n-14)

6

，由此分类讨论能比较b_n与T_n的大小．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得a₁+2a₁q=3a₁q²，…（2分）
因为{a_n}是等比数列，所以3q²-2q-1=0．…（3分）
解得q=1或q=-

1

3

．…（5分）
（Ⅱ）①当q=1时，b_n=n+1，
Tn=

n2+3n

2

，…（7分）
所以，当n≥2时，Tn-bn=

n2+n-2

2

＞0．
即当q=1时，T_n＞b_n（n≥2）．…（8分）
②当q=-

1

3

时，bn=2+(n-1)(-

1

3

)=

7-n

3

，…（9分）
Tn=2n+

n

2

(n-1)(-

1

3

)=

13n-n2

6

，…（10分）
Tn-bn=-

(n-1)(n-14)

6

，…（12分）
所以，当n＞14时，T_n＜b_n；
当n=14时，T_n=b_n；
当2≤n＜14时，T_n＞b_n．…（13分）
综上，当q=1时，T_n＞b_n（n≥2）．
当q=-

1

3

时，若n＞14，T_n＜b_n；
若n=14，T_n=b_n；
若2≤n＜14，T_n＞b_n．

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题．对数学思维的要求比较高，要求学生合理运用分类讨论思想进行解题．本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．